Očuvanje kutne količine gibanja

Moment tromosti omogućava pohranu kinetičke energije rotacije. To se svojstvo koristi kod zamašnjaka. Zamašnjak je kotač ili disk koji se okreće, oko svoje osi simetrije. Energija je pohranjena kao kinetička energija, točnije rotacijska energija , i može se izračunati pomoću

Za zamašnjak je poželjno da ima većinu svoje mase raspoređenu na obodu, dalje od osi vrtnje.

Za translacijska (linearna) gibanja količina gibanja p→ je umnožak mase m i brzine tijela v→

p → = m·v →

Za rotacijska gibanja kutna količina gibanja L→ je umnožak momenta tromosti I i kutne brzine tijela ω→

L → = I·ω →

Zakon očuvanja količine gibanja: Ukupna količina gibanja se ne mijenja. Kolika je bila prije međudjelovanja tolika ostaje i poslije međudjelovanja. Ovaj zakon vrijedi i za translacijsku i za kutnu količinu gibanja. Zakon očuvanja kutne količine gibanja kaže: ako se smanji moment tromosti I mora se povećati kutna brzina ω, da bi umnožak ostao isti, tj. vrijedi

Prandtlov stolac                                                           

Glavna je osobina ovog uređaja, da se može vrtjeti gotovo bez trenja oko vertikalne osi jer ima osovinu s ugrađenim kugličnim ležajima. Ležajeve treba povremeno oprati benzinom i podmazati finim strojnim uljem. Činjenica da pri vrtnji nema trenja omogućuje izvođenje pokusa u zatvorenom sustavu bez vanjskih sila (naravno ako nogama ili kojim drugim dijelom tijela ne dodirujemo pod ili okolne predmete). A to je uvjet koji mora biti ispunjen da bi mogli pokazati važenje zakona o očuvanju kutne količine gibanja, tj. da je zbroj kutnih količina gibanja u takvom sustavu stalan bez obzira mijenja li se kutna količina gibanja kao vektor, samo po iznosu ili samo po smjeru.

 

Pokusi s promjenom kutne količine gibanja po iznosu

I. pokus :

Čovjek na stolcu ima u rukama utege, da bi povećao masu svojih ruku. Pomoćnik izvana stavi čovjeka na stolcu u vrtnju, dok ovaj drži utege u ispruženim rukama, kako bi moment tromosti obzirom na os vrtnje bio što veći. Ako sada čovjek skupi ruke uz tijelo na prsa, utezi se približe osi vrtnje, pa se zato smanji moment tromosti. Kako po zakonu o očuvanju mora kutna količina gibanja ostati ista, onda se poveća kutna brzina i vrtnja čovjeka na stolcu se uočljivo ubrza.

Učinak piruete

Učinak piruete je povećanje ili smanjenje brzine vrtnje do kojeg dolazi kada se masa tijela koji se okreće povuče bliže ili dalje od osi rotacije. To se koristi u umjetničkom klizanju. Klizači se prvo okreću sporo s ispruženim rukama ili jednom nogom u stranu. Privlačenje ruku uz tijelo smanjuje moment tromosti I. Budući da vrijedi zakon očuvanja, kutna brzina ω→ se poveća i klizač se vrti brže. Obrnuto, kada ispruži ruke, brzina vrtnje se smanjuje.

Kutna količina gibanja može se izraziti kao umnožak polumjera kruženja, mase i kutne brzine:

L→ = m·r²·ω →

Zbog očuvanja kutne količine gibanja, za zatvoreni sustav bez vanjskih utjecaja i nepromijenjene mase, gdje indeksi 1 i 2 označavaju dva stanja sustava vrijedi:

Iz ovoga slijedi da su kutne brzine obrnuto razmjerne kvadratima polumjera kruženja masa:

Kinetička energija

Kinetička energija rotacije međutim nije sačuvana jer je uložen rad protiv centrifugalne sile za vrijeme privlačenja utega na manji polumjer rotacije. Izvedimo dokaz ove tvrdnje
Kao što smo ranije naveli zakon očuvanja kaže: ako se smanji moment tromosti I mora se povećati kutna brzina ω, tj. vrijedi:

I₁ ω₁ = I₂ ω₂

Pretpostavimo da je kinetička energija rotacije sačuvana tj. da vrijedi sljedeće

   Što je u suprotnosti s pokusom.

Time smo dokazali da je pri povlačenju utega na manji polumjer očito izvršen rad protiv centrifugalne sile na račun mišića izvođača pokusa.

Prandtlov stolac bez korištenja utega

Niski Prandtlov stolac s rukohvatima omogućava doživljaj sačuvanja kutne količine gibanja. Izvođač sjedi na kružnoj ploči stolca malo zalegnut i s ispruženim nogama (položaj a). Netko ga u tom položaju zavrti. Tijekom vrtnje izvođač se pridigne i skvrči noge (položaj b). Brzina vrtnje naglo se poveća. Ako se ponovo ispruži brzina se smanji.

II. pokus :

Možemo zorno prikazati zašto se mačka uvijek dočeka na noge iako se nalazi u zatvorenom sustavu i nema vanjskog momenta koji bi je okrenuo. Na početku pokusa čovjek na stolcu miruje. Zatim ispruženom rukom, u kojoj drži uteg, vitla iznad svoje glave izvodeći kružne pokrete oko vertikalne osi, za to vrijeme tijelo okreće u suprotnom smjeru. Čim prestane vitlanje ruke, prestane i vrtnja tijela, no tijelo se zakrenulo. (YouTube VIDEO) Mačka kod padanja vrti repom i stražnjim nogama i tako se zakrene. U svakom je času međutim zbroj kutnih količina gibanja nepromijenjen.

III. pokus :

Čovjek na stolcu, da bi povećao svoj moment tromosti drži u ispruženim rukama utege. Za vrijeme dok se vrti odjednom ispusti utege na pod ne mijenjajući položaj ruku u odnosu na os vrtnje, vrtnja čovjeka na stolcu će nakon ispuštanja utega ostati nepromijenjena, tj kutna brzina se neće povećati, premda bi na prvi pogled pomislili da se zbog smanjenog momenta tromosti to mora dogoditi.

Slično bi se dogodilo kada bi čovjek u slobodnom padu ispustio utege koje drži u rukama, nakon toga i čovjek i utezi nastavili bi padati istim ubrzanjem kao i dok je utege čvrsto držao u ruci. Naime ispušteni utezi odnijeli su svoju kutnu količinu gibanja sa sobom što ne utječe na ostatak sustava.

 

 

Pokusi s promjenom kutne količine gibanja po smjeru

Kotač od bicikla ima po obodu učvršćenu masu koja mu daje veliki moment tromosti. Osovina je produžena na jednu stranu u obliku ručke, tako da se može držati u  ruci, a ima i kuku na koju se dade objesiti. Kuglične ležajeve u glavčini treba povremeno podmazati strojnim uljem jer je važno da kotač ima što manje trenje. Kotač služi u pokusima o očuvanju kutne količine gibanja kada se toj veličini mijenja smjer.

I. pokus :

Osim kotača potreban je i Prandtlov stolac. Dok sjedi na stolcu čovjek se može staviti u vrtnju tako, da držeći jednom rukom osovinu kotača usmjerenu paralelno s osovinom stolca, drugom rukom potjera kotač. Njegovo će se tijelo pri tome odguravati od kotača i zakretati će se u suprotnom smjeru. Pri tome jedna vrtnja nastaje na račun druge tako, da zbroj kutnih količina gibanja obzirom na os stolca ostaje uvijek nula kao što je bio i u početku. Ako se osovina kotača koji se vrti preokrene za 180⁰ , onda se promijeni predznak kutne količine gibanja pa se mora i vrtnja čovjeka na stolcu promijeniti u protivnu.

II. pokus :

Kad se čovjek nalazi na tom stolcu (to jest u zatvorenom sustavu.), vrtnja mu se može dovoditi samo izvana ( tako da se odgurne od poda ili da ga netko tko stoji na podu  zavrti).Međutim  može pomoćnik, koji stoji na podu sobe staviti kotač u vrtnju i držeći osovinu kotača vertikalno predati kotač čovjeku na stolcu. Ovaj preokrene osovinu za 180⁰ i time stavi sebe u vrtnju, tako da je kutna količina gibanja  jednaka dvostrukoj količini gibanja kotača koji mu je pomoćnik predao izvana.

 

III. pokus :

Objesimo li kotač za kuku na kraju njegove ručke, on će visjeti tako da mu je osovina u vertikalnom položaju. Ali ako ga prije vješanja dobro zavrtimo, pa ga dok se tako vrti objesimo i pustimo, neće mu osovina pasti nego će ostati cijelo vrijeme horizontalna. No neće mirovati. Gibati će se u precesiji oko niti na kojoj visi. Kako se vrtnja zbog trenja postepeno usporava tako će i osovina padati naginjući se prema vertikalnom položaju.

 

 

IV. pokus :

Kotač se može objesiti tako da u mirovanju (to jest dok se ne vrti) ima osovinu u vodoravnom položaju. No za to su potrebni utezi koji će ga uravnotežiti. Objesimo na kraj ručke utege m₀ i m_-, tako da s njima kotač visi u vodoravnom položaju osovine. Zavrtimo li ga dok je tako uravnotežen i zatim pustimo, neće precesirati. Ali ako oduzmemo uteg m_- te ostane samo m₀ počet će precesija u jednom smjeru  (ovisno o smjeru vrtnje). Kad oduzeti uteg vratimo, uspostavi se ravnoteža i precesija prestane trenutno bez usporavanja! Dodamo li sada utezima m₀ i m_-, još i uteg m₊, ponovo dolazi do precesije , ali u drugom smjeru.

 

Dva načina dodavanja kotača

 

Hrvoje Mesić, Prirodopolis

prirodopolis  |  o nama  |  projekt  |  događaji  |  kontakti  |  dokumenti  |  povijest  |  priroda