Galtonova daska
Treba li fizici statistika? Nemoguće je razumjeti najvažnija pitanja suvremene fizike bez nekih, bar najosnovnijih predodžbi o statističkim zakonitostima. Razmatranje plina kao sustava golemog broja čestica zahtijeva da na pristupačan način stvorimo predodžbe o vjerojatnosnom, statističkom karakteru zakonitosti takvih sustava, o statističkim raspodjelama koje nam pokazuju kojom vjerojatnošću čestice sustava imaju ovu ili onu vrijednost parametara koji određuju njihovo stanje. Time možemo objasniti osnovne postavke kinetičke teorije plinova, na primjer ravnomjernu raspodjelu molekula plina po čitavom volumenu; takva raspodjela pokazuje se najvjerojatnijom. Ili zaključak da veći dio molekula plina, pri danoj temperaturi ima brzine koje se grupiraju oko neke određene vrijednosti objasnit ćemo najvjerojatnijom brzinom. Da bi sve te pojmove lakše usvojili izradit ćemo model za zorni prikaz događaja slučajnog karaktera.
Nagnuta ploča s nekoliko redova čavlića
zabijenih u poretku mreže jednakostraničnih trokuta (Sl. 1)
čini uređaj koji zovemo Galtonova
Sir Francis Galton (1822-1911), Engleski antropolog. Među prvim
znanstvenicima koji je naglasio važnost primjene statističkih metoda u biologiji
nasljednih osobina. daska. Kroz lijevak na vrhu daske
puštamo kuglice da se kotrljaju između čavlića. Njihov promjer mora biti manji
od prolaza među čavlićima. Kuglica pri svakom sudaru s čavlićem ima mogućnost
da ga obiđe slijeva ili zdesna. Na primjer, kuglica koja naleti na tri čavlića
može se očito tri puta "odlučiti" kako će se dalje kotrljati. Sve one
na kraju završavaju svoje putanje u pretincima na dnu uređaja i tako
podijeljene čine vizualni prikaz distribucije vjerojatnosti koji obično zovemo
- histogram.
Pokušajmo sada odgovoriti na pitanje: Koliko će kuglica dospjeti u pojedini pretinac ako kroz lijevak pustimo N kuglica, i one prođu kroz n redova čavlića?
Označimo pretince brojevima od 0 do n počevši slijeva na desno (imamo dakle n redova čavlića i n+1 pretinac. (Sl. 2). Možemo zaključiti da će pojedina kuglica nakon nalijetanja na n čavlića pasti u pretinac označen onim brojem koliko joj se dogodilo desnih obilazaka. Na primjer da bi dospjela u 0-ti pretinac ne smije imati niti jedan desni obilazak, i općenito da bi dospjela u x-ti pretinac mora joj se dogoditi x desnih obilazaka i naravno n - x lijevih.
Bavimo se samo s dvije mogućnosti koje se sastoje u tome da se neki događaj pojavi (desni obilazak) ili se ne pojavi (lijevi obilazak), pa možemo označiti vjerojatnost desnog s p, a lijevog s q = (1 - p). Kod precizno izrađene daske p = 1/2 i q = 1/2, to jest vjerojatnost lijevog i desnog obilaska su jednake, p + q = 1. To dalje znači da je vjerojatnost da od n obilazaka njih x bude desnih (pri čemu je svejedno kojim su se redoslijedom smjenjivali desni i lijevi obilasci) dana funkcijom f(x)
Raspodjela kuglica u pretincima je binomna, pa za dasku s, na primjer, pet redova čavlića (n = 5) i šest pretinaca (n + 1) očekujemo da se kuglice raspodjele po sljedećim dijelovima od ukupnog broja kuglica N:
Brojnici ovih razlomaka su u stvari poznati binomni koeficijenti iz Pascalovog trokuta.
Za one koji nemaju strpljenja izraditi pravu, fizičku Galtonovu
dasku bit će zanimljiv zadatak da na računalu napišu program koji će ju
simulirati, animirati kotrljanje kuglice i crtati kuglice u pojedinom pretincu.
