Galtonova daska

Treba li fizici statistika
Statistika je grana primijenjene matematike koja se bavi analizom podataka. Proučava načine sakupljanja, sažimanja i prikazivanja zaključaka iz prikupljenih podataka.? Nemoguće je razumjeti najvažnija pitanja su­vremene fizike bez nekih, bar najosnovnijih predodžbi o statističkim zakonitostima. Razmatranje plina kao sustava golemog broja čestica zahtijeva da na pristupačan način stvorimo predodžbe o vjerojatnosnom, statističkom karakteru zakonitosti takvih sustava, o statističkim raspodjelama koje nam pokazuju kojom vjerojatnošću čestice sustava imaju ovu ili onu vrijednost parametara koji određuju njihovo stanje. Time možemo objasniti osnovne postavke kinetičke teorije plinova, na primjer ravnomjernu raspodjelu molekula plina po čitavom volumenu; takva raspodjela pokazuje se najvjerojatnijom. Ili zaključak da veći dio molekula plina, pri danoj temperaturi ima brzine koje se grupiraju oko neke određene vrijednosti objasnit ćemo najvjerojatnijom brzinom. Da bi sve te pojmove lakše usvojili izradit ćemo model za zorni prikaz događaja slučajnog karaktera.

Nagnuta ploča s nekoliko redova čavlića zabijenih u poretku mreže jednakostraničnih trokuta (Sl. 1) čini uređaj koji zovemo Galtonova
Sir Francis Galton (1822-1911), Engleski antropolog. Među prvim znanstvenicima koji je naglasio važnost primjene statističkih metoda u biologiji nasljednih osobina. daska. Kroz lijevak na vrhu daske puštamo kuglice da se kotrljaju između čavlića. Njihov promjer mora biti manji od prolaza među čavlićima. Kuglica pri svakom sudaru s čavlićem ima mogućnost da ga obiđe slijeva ili zdesna. Na primjer, kuglica koja naleti na tri čavlića može se očito tri puta "odlučiti" kako će se dalje kotrljati. Sve one na kraju završavaju svoje putanje u pretincima na dnu uređaja i tako podijeljene čine vizualni prikaz distribucije vjerojatnosti koji obično zovemo - histogramHistogram je vrsta grafikona koji pruža vizualnu interpretaciju numeričkih podataka naglašavajući vrijednosti podataka koji se nalaze unutar nekog raspona. Učestalost podataka prikazana je upotrebom stupaca. Što je viši stupac, to je veća učestalost podataka u tom dijelu raspona..

Pokušajmo sada odgovoriti na pitanje: Koliko će kuglica dospjeti u pojedini pretinac ako kroz lijevak pustimo N kuglica, i one prođu kroz n redova čavlića?

Označimo pretince brojevima od 0 do n počevši slijeva na desno (imamo dakle n redova čavlića i  n+1  pretinac. (Sl. 2). Možemo zaključiti da će pojedina kuglica nakon nalijetanja na n čavlića pasti u pretinac označen onim brojem koliko joj se dogodilo desnih obilazaka. Na primjer da bi dospjela u 0-ti pretinac ne smije imati niti jedan desni obilazak, i općenito da bi dospjela u x-ti pretinac mora joj se dogoditi  x  desnih obilazaka i naravno n - x lijevih.

Bavimo se samo s dvije mogućnosti koje se sastoje u tome da se neki događaj pojavi (desni obilazak) ili se ne pojavi (lijevi obilazak), pa možemo označiti vjerojatnost desnog s p, a lijevog s q = (1 - p). Kod precizno izrađene daske p = 1/2 i q = 1/2, to jest vjerojatnost lijevog i desnog obilaska su jednake, p + q = 1. To dalje znači da je vjerojatnost da od n obilazaka njih x bude desnih (pri čemu je svejedno kojim su se redoslijedom smjenjivali desni i lijevi obilasci) dana funkcijom f(x)

Raspodjela kuglica u pretincima je binomna, pa za dasku s, na primjer, pet redova čavlića (n = 5) i šest pretinaca (n + 1) očekujemo da se kuglice raspodjele po sljedećim dijelovima od ukupnog broja kuglica N:

Brojnici ovih razlomaka su u stvari poznati binomni koeficijenti iz Pascalovog trokuta.

Za one koji nemaju strpljenja izraditi pravu, fizičku Galtonovu dasku bit će zanimljiv zadatak da na računalu napišu program koji će ju simulirati, animirati kotrljanje kuglice i crtati kuglice u pojedinom pretincu.

Digitalna daska