Prirodopolis > Članci > Jednoliko kružno gibanje | ||||||||||||||||||
Jednoliko kružno gibanje | ||||||||||||||||||
Sadržaj Budući da se gibanje odvija po nekom putu nameće se nekako potreba da o putu saznamo sve što je važno za proučavanje gibanja. Pri tome će nas svakako zanimati duljina puta. A važno je znati i to je li put ravan ili zakrivljen, da li se uspinje po kosini ili se spušta, kakvo je trenje itd. Kod kružnog gibanja put je kružnica. Stoga ćemo se podsjetiti osnovnih pojmova..
U opisivanju gibanja po kružnici trebat će nam neki nazivi za točnije sporazumijevanje.
a) Kružnica je skup točaka ravnine koje su jednako udaljene od jedne točke u istoj ravnini - koju zovemo središte, a na crtežima ćemo tu točku označavati slovom S. (Sl.2.)
b) Udaljenost od središta S do bilo koje točke na kružnici zove se polumjer ili radijus, a na crtežima ćemo tu dužinu označavati slovom r. (Sl.3.)
c) Dužina koja spaja dvije točke na suprotnim stranama kružnice a prolazi središtem zove se promjer ili dijametar. Tu dužinu ćemo označavati kao 2r ili d. (Sl 4.)
Za opisivanje kružnog gibanja još je važno je i da razumijemo što je to broj π (grčko slovo pi). Svi znamo koliki je iznos toga broja (π = 3.14.....), ali treba znati odakle potječe taj broj i zašto iznosi upravo toliko. Kako se dolazi do njega i u kakvoj je on vezi s kružnicom.
Da bi odgovorili na postavljena pitanja nacrtat ćemo
kružnicu i zamisliti da je načinjena od savitljive niti ili žice, tako da
ju na jednom mjestu možemo presjeći škarama. (Sl.5a) Kad je presječena izravnajmo ju i
promatrajmo tako ispruženu kružnicu.(Sl 5b) Sad možemo mjeriti njenu duljinu
primjenjujući različita mjerila. Npr. centimetar, inč, lakat
itd. Možemo čak uzeti bilo koji predmet i stavljajući ga uz ispruženu
kružnicu određivati koliko je takovih predmeta dugačka kružnica. Pa
ako, recimo, kao mjerilo uzmemo gumicu za brisanje, možemo se pitati koliko
"gumica" je dugačka ispružena kružnica? (Sl. 5c)
A sad ćemo za mjeru uzeti promjer ili dijametar kružnice. Možemo promjer uzeti u otvor šestara (Sl. 6.) i nanositi ga na ispruženu kružnicu. (Sl. 7) Kolika god da je kružnica uvijek će promjer na nju stati 3,14... puta. Tim smo postupkom promjer proglasili mjernom jedinicom. Kaže se još da smo normirali mjeru. Dakle svaka je kružnica dugačka točno 3,14... svojih promjera. Taj broj nije racionalan pa umjesto preostalih decimalnih mjesta stoje točkice. Zato ćemo odsad za njegovo označavanje upotrebljavati grčko slovo π. Zašto je omjer između opsega kružnice i njenog promjera upravo 3,14.. to nitko ne zna, ali se divimo činjenici da je to uvijek kod svake kružnice tako. Duljina kružnice ili opseg je dakle O = 2rπ
![]()
![]() Ova činjenica o opsegu ili duljini kružnice toliko je značajna da ćemo ju još i pokusom dokazati. Uzet ćemo bilo kakovu okruglu posudu (npr. lončić ili zdjelu). Zatim ćemo oko posude obaviti konac ili neku nit, kao što rade krojači kad uzimaju mjeru za opseg oko prsa ili struka obavijajući krojački metar oko tijela osobe za koju šiju. (Sl. 8.) Nakon toga ćemo nit ispružiti po stolu i zabilježiti njen početak i kraj. Tako određenu dužinu izmjerit ćemo promjerom posude (Sl. 9.)
![]() Stavimo na stol ravnalo koje na jednom kraju ima rupu i kroz tu rupu zabijemo čavlić, a na drugi kraj ravnala položimo neko tijelo, na primjer gumicu za brisanje. Tada možemo, gurajući ravnalo rukom, postići da se gumica giba po kružnoj putanji. (Sl. 11.) Slično se događa kad jedan krak šestara zabodemo u podlogu a drugi krak jednoliko kruži oko te nepomične točke opisujući kružnicu. U različitim trenucima t1, t2, t3, ... itd. tijelo (gumica) će se naći na različitim položajima svoje kružne putanje. U pojedinim razdobljima prelazit će putove koji su jednaki duljini kružnog lûka između pojedinih položaja. Kod gibanja po kružnici tijela imaju brzinu baš kao i kod gibanja po ravnim putanjama. Dakle, i kod kružnog gibanja brzina je omjer prijeđenog puta i vremena, samo što je put savijen u lûk kružnice duljine Δs. (Sl. 12.)To je obodna brzina tijela koje jednoliko kruži. Budući da će u istim vremenskim razmacima tijelo prevaljivati jednake putove onda će tako dobiven iznos brzine biti isti bez obzira na kojem dijelu kružnice promatramo gibanje. Obodna brzina je vektor, što znači da osim iznosa ima i smjer u prostoru. Njen smjer je u svakom trenutku gibanja takav da s polumjerom zatvara pravi kut. Kažemo da je vektor brzine okomit na polumjer putanje ili da je brzina tangencijalna jer leži na pravcu koji je tangenta kružne putanje. Jednoliko kruženje odvija se tako da tijelo stalno iznova prelazi isti put, a to je kružnica po kojoj se giba. Budući da se sa svakim obilaskom te kružne putanje gibanje ponavlja, možemo brzinu računati tako da načinimo omjer između duljine čitave kružnice i trajanja jednog obilaska po njoj. Dobit ćemo pri tome isti broj kao i kad smo u omjer stavljali mali odsječak puta Δs i pripadajuće vrijeme Δt.
Time što smo brzinu odredili upravo na jednom obilasku cijele kružnice normirali smo vrijeme, tj. veličina T u nazivniku postala je mjera za put duljine opsega. Vrijeme jednog obilaska kružnice mjereno u sekundama naziva se "period"
![]() S periodom je u tijesnoj vezi jedna važna fizikalna veličina koju zovemo frekvencija.
Sad kad znamo što je frekvencija, možemo izraz za obodnu brzinu pisati u još jednom obliku, tako da opseg kružnice umjesto dijeljenja s periodom pomnožimo s frekvencijom ![]() Kod kružnog gibanja tijelo osim obodne brzine ima još jednu veličinu koju zovemo kutna brzina. Kako se već iz samog naziva može nazrijeti kutna brzina je u vezi s kutovima, pa je neophodno da kutove znamo mjeriti različitim mjerama. Jednu od mjera već poznajemo, to su stupnjevi (krug podijeljen na 360 dijelova). Druga mjera za kut, koju trebamo znati su radijani. Postoje još i gradi (krug podijeljen na 400 dijelova), ali o njima nećemo govoriti jer se ta stara njemačka mjera više ne koristi. Sve tri mjere postoje na džepnim kalkulatorima i treba dobro paziti koja je mjera odabrana tipkom DRG . Kutove smo navikli mjeriti u stupnjevima. Oni se dobiju tako da krug podijelimo na 360 jednakih dijelova. Jedan takav dio ravnine je stupanj.
Nacrtat ćemo kružnicu pomoću šestara. Spojimo polumjerom središte s bilo kojom točkom na kružnici, a zatim iz te točke nastavimo nanositi polumjer presijecajući kružnicu šestarom. (Sl. 14) ![]()
Kad smo govorili o broju π vidjeli smo da promjer može stati na kružnicu 3.14… puta, stoga je očito da će polumjer koji je upola kraći stati na kružnicu dvostruko više puta, tj. 6,28…ili 2π puta. A budući da svaki lûk duljine polumjera određuje kut od jednog radijana imat će puni krug 6,28…ili 2π radijana. Sad znamo još jednu mjeru za kutove pa možemo lako pretvarati stupnjeve u radijane i obrnuto pomoću tablice:
Za pojam kutne brzine u sljedećem poglavlju važno je upamtiti da puni kut ima 2π radijana.
Vratimo se sada kutnoj brzini. Tijelo koje se giba po zakrivljenoj putanji uvijek ima neku udaljenost od središta zakrivljenosti. Općenito se ta udaljenost mijenja, no kod gibanja po kružnici ona je stalna. Vektor koji se pruža od središta zakrivljenosti putanje do tijela na toj putanji naziva se "vektor pratilac" ili "radijus-vektor". Vrh tog vektora stalno prati tijelo tijekom gibanja, a početak je vezan za središte zakrivljenosti. Kako se vektor pratilac vrti zajedno s tijelom tako njegova dužina prelazi ravninom gibanja i pri tom "prebriše" određeni kut. (Slika 17)
U različitim trenucima t1, t2, t3, ... itd. tijelo (gumica) će se naći na različitim položajima svoje kružne putanje. U pojedinim razdobljima vektor pratilac prebrisat će kutove određene duljinom kružnog lûka između pojedinih položaja. Kutna brzina je omjer prebrisanog kuta Δφ i vremena Δt, a označava se grčkim slovom omega. ω (Sl. 18) ![]()
Kao primjer kutne brzine poslužit će nam brisač vjetrobranskog stakla na vozilu. Ako od jednog do drugog krajnjeg položaja brisač, na primjer, prebriše kut od 120°, a za to mu je potrebno recimo 2 sekunde, onda je njegova kutna brzina 60° u sekundi.
To je kutna brzina tijela koje jednoliko kruži. Budući da će u istim vremenskim razmacima radijus-vektor prebrisati jednake kutove onda će tako dobiven iznos kutne brzine biti isti bez obzira na kojem dijelu kružnice promatramo gibanje. Kutna brzina je vektor. U svakom trenutku taj vektor zatvara pravi kut i s polumjerom i s obodnom brzinom. Kažemo da je vektor brzine okomit na ravninu putanje ili da kutna brzina leži na pravcu koji je os vrtnje tijela. Smjer se određuje pravilom desne ruke – kad prsti pokazuju smjer obodne brzine palac pokazuje smjer kutne brzine. Budući da se sa svakim obilaskom kružne putanje gibanje ponavlja, možemo kutnu brzinu računati tako da načinimo omjer između punog kuta i vremena potrebnog da se on prebriše, a to je trajanje jednog obilaska po kružnici. Dobit ćemo pri tome isti broj kao i kad smo u omjer stavljali mali odsječak kuta Δφ i pripadajuće vrijeme Δt. Sad kad znamo što su to radijani puni kut ćemo mjeriti tom mjerom. Radijani nemaju posebnu oznaku za jedinicu, stoga se u formulama ne piše [rad] niti išta drugo. Jedinica za kutnu brzinu je [s-1].
Time što smo kutnu brzinu odredili upravo
na jednom obilasku cijele kružnice normirali smo vrijeme na isti način kao
i kod obodne brzine. Iz ove formule se vidi da kutna brzina ne ovisi o
polumjeru kružnice. Jer, da smo našu gumicu stavili na ravnalo bliže središtu
vrtnje njezin bi radijus-vektor u istom vremenu prebrisao isti kut. Odnosno Izraz za kutnu brzinu možemo pisati u
još jednom obliku, tako da puni kut
Izveli smo izraze za obodnu i kutnu brzinu, pa pogledajmo kakva je veza među tim izrazima i kako se znajući jednu od tih brzina može izračunati ona druga. To će nam biti od velike koristi u rješavanju zadataka. OBODNA BRZINA KUTNA BRZINA ![]() ![]() U izrazu za obodnu brzinu nalazi se izraz 2π/T koji možemo zamijeniti znakom ω jer je to kutna brzina. ![]()
Zadatak. Na crtežu desno prikazan je lančani prijenos kod bicikla. Na zupčanicima koji se okreću su dva zupca obojena crveno. Koji od tih zubaca ima veću kutnu, a koji obodnu brzinu?
Razmatrat ćemo kruženje stalnom kutnom brzinom, odnosno gibanje sa stalnim brojem obilazaka u sekundi. Mogli bismo pomisliti da za ove uvjete vrijedi I. Newtonov zakon, ali on se odnosi na jednoliko gibanje po pravcu, a ne po kružnici. Gibate li se po kružnici možete imati stalan iznos brzine, ali smjer brzine sigurno neće biti stalan jer se on kod kružnog gibanja neprekidno mijenja. ![]() Tijekom vrtnje tijelo se stalno ubrzava prema središtu
kružnice. Unatoč tom stalnom ubrzanju tijelu se ne povećava iznos brzine
niti se ono približava središtu. Ubrzanje se očituje jedino u tome, što
tijelo skreće smjer svoje brzine prema središtu. Da brzinu zakrenemo za toliki kut, moramo joj prema središtu kružnice dati prirast jednak Δv. No veličinu tog vektora nećemo računati izravno nego ćemo je zamijeniti lûkom koji je opisao vrh vektora obodne brzine kad se je iz položaja u času t1 zakrenuo u položaj u času t2. Za male kutove to će biti dobro približenje. Toliko je približno velik lûk između strelica v i v', koje na crtežu predočuju brzine na početku i kraju razdoblja Δt. Tu promjenu brzine sila je proizvela u promatranom vremenu Δt. Dakle, omjer između promjene brzine i tog vremena upravo je jednak kružnoj (centripetalnoj) akceleraciji:
acp =
Δv
Δt
≈
v Δφ
Δt
Omjer kuta Δφ i vremena Δt jednak
je kutnoj brzini ω odnosno
omjeru između punog kuta kružnice (u radijanima) 2π i trajanja T jednog cijelog okretaja.
acp = v ω
odnosno, ako uvedemo zamjene v = ω r i ω = v/ r
acp =
v2
r
= ω2 r
Ova jednakost je na prvi pogled proturječna. Naime ne možemo odmah reći je li centripetalno ubrzanje veće kad je tijelo bliže središtu vrtnje ili kad je dalje od njega. Za jedno tijelo u kružnom gibanju ubrzanje se doista može iskazati na oba načina, obrnuto razmjerno polumjeru i razmjerno polumjeru, ovisno o tome uzimamo li obodnu ili kutnu brzinu. Ali ako uspoređujemo centripetalno ubrzanje za dva tijela na različitim polumjerima, na primjer, dva automobila koji ulaze u zavoje istim (obodnim) brzinama, onaj na zavoju manjeg polumjera ima veće centripetalno ubrzanje. Međutim, kada usporedimo, primjerice, dva drvena bloka na okretnoj ploči gdje su im kutne brzine jednake, tada blok na većem polumjeru ima veće centripetalno ubrzanje. Centripetalno ubrzanje obrnuto je razmjerno polumjeru Ovo je dosta zorno. Zamislimo da se polumjer zavoja ceste povećava. Tada se sve manje mijenja smjer brzine prema središtu. U granici beskonačnog polumjera tijelo se kreće po pravcu, i centripetalnog ubrzanja nema. Ovisnost centripetalnog ubrzanja o kvadratu brzine možemo također lako uvidjeti ako pomislimo da se smjer brzine to brže mijenja što se čestica po kružnici brže giba. To vrijedi ako uspoređujemo gibanje dvaju tijela na različitim polumjerima ali istih obodnih brzina. Centripetalno ubrzanje razmjerno je polumjeru Ako, međutim, promatramo gibanje dva tijela na različitim polumjerima ali s istim kutnim brzinama onda će centripetalno ubrzanje biti razmjerno polumjeru, odnosno veće ubrzanje imat će tijelo kojem je veća obodna brzina. Sile koje koje imaju centripetalni učinak tijelima skreću putanju u kružnicu zato ih nazivamo centripetalne sile. Budući da je sila općenito umnožak mase i ubrzanja tako se i centripetalna sila dobiva množenjem mase i centripetalnog ubrzanja:
Fcp =
m v2
r
= m ω2 r
= m
4π2
T 2
r
= m 4π2f 2 r
I ovdje ćemo utvrditi da je za kružnu putanju potrebno djelovanje sile, ali bi bilo pogrešno reći da je "centripetalna sila uzrok kružnog gibanja“. Naime centripetalna sila nije uzrok nikakvog gibanja pa niti kružnog zato što centripetalna sila ne može niti jedno tijelo pomaknuti s mjesta niti mu može mijenjati iznos brzine.
Centripetalni učinak mogu stvarati i druge sile pa se tako možemo pitati koja sila omogućava automobilu da skreće u zavoju ceste. Odnosno koji uvjeti na cesti uzrokuju da automobil ne može skrenuti nego nastavlja gibanje po pravcu i dolazi do slijetanja s ceste? Očito je iz iskustva da na poledici vozila ne mogu zadržati smjer kružnoga gibanja, iz čega zaključujemo da centripetalni učinak ima sila trenja.
U magnetskom polju javlja
se također jedna sila s centripetalnim učinkom, a djeluje na električne naboje u gibanju. Ako se naboj Q giba brzinom v→ tako da vektor brzine i
vektor magnetske indukcije B→ čine neki paralelogram (tj. da nisu
paralelni) javlja se sila koja je okomita i na v→ i na B→. Ta se
sila zove Lorentzova, a djeluje tako da skreće putanju naboja. Lorentzova
sila je razmjerna naboju Q i površini paralelo-grama koji razapinju v→
i B→. Možemo
zaključiti da centripetalna sila nije neka posebna jedinstvena sila nego različite sile koje djeluju na tijelo u gibanju mogu proizvesti centripetalni učinak. Primjerice na avion koji leti u tzv. "lupingu" djeluje pritisak zraka na njegova krila na isti način kao što na naboj u magnetskom polju djeluje Lorentz-ova sila. Zato je ispravno govoriti o centripetalnom učinku pojedine sile. Promatrač u ubrzanom sustavu koji se okreće doživljava i vidi inercijalnu silu koja djeluje radijalno od središta vrtnje prema obodu. Ta sila postoji samo za promatrača u tom sustavu i to je centrifugalna sila. Centrifugalna i centripetalna sila jesu isitih iznosa, a suprotnih smjerova i djeluju na isto tijelo ali u različitim sustavima pa stoga ne podliježu 3. Newtonovom zakonu i međusobno se ne poništavaju. O centrifugalnom ubrzanju i centrifugalnoj sili kao i drugim inercijanim silama vidi članak Inercijalno ubrzanje. |
||||||||||||||||||