Zbog čega se papirnata čaša ne zapali?

U pokusu možemo postići da voda ključa u papirnatoj čaši koju zagrijavamo plamenikom (pokus). U tom slučaju papirnata čaša je na većoj temperaturi od temperature vode, ali na nižoj temperaturi od temperature paljenja papira.
Prijelaz topline između dva tijela u dodiru se zbiva jedino kada jedno tijelo ima veću temperaturu od drugog. Zato je nužan uvjet da papir prenosi toplinu vodi taj da njegova temperatura bude veća od temperature vode.
Kolika je temperatura paljenja papira možemo saznati iz kultnog filma Fahrenheit 451. To je zapravo naslov romana Raya Bradburya iz 1953. godine. Roman opisuje totalitarno društvo 25. stoljeća u kojem vlasti, kako bi spriječile kritičko razmišljanje, ne dopuštaju čitanje knjiga. U tu svrhu država je osnovala postrojbe vatrogasaca, zapravo spaljivača knjiga, čija je uloga zapljena knjiga po kućama i njihovo javno spaljivanje na lomačama. Naslov romana dobio je ime po temperaturi na kojoj papir počinje gorjeti (451 stupanj fahrenheita odgovara temperaturi od 233 °C).

Toplina se dovodi papiru s vanjske strane čaše putem vatre plamenika i odvodi s njega s unutrašnje strane, preko vode. Papir se nalazi između dva toplinska spremnika: vode čija temperatura je najviše 100 °C i plamena čija temperatura je preko 1000 °C. Temperatura papira mora biti negdje između te dvije vrijednosti. Temperatura papira s unutrašnje strane približno je jednaka temperaturi vode, dok je s vanjske strane mora biti niža od 233 °C, što je temperatura paljenja papira.
Kolika će biti temperatura papira s vanjske strane ovisi o tome kojom brzinom se toplina koju prima iz plamenika odvodi kroz njega u vodu. Inače, voda je loš toplinski vodič, ali može brzo odvoditi toplinu iz dva razloga. Prvi je taj što voda ima veliki specifični toplinski kapacitet, i time može primiti puno topline po jedinici mase, a drugi taj što je voda fluid i što se u njoj stvaraju struje konvekcije, koje jako pospješuju preuzimanje topline. Rezultat brzog odvođenja topline je taj da je temperatura papira znatno bliža temperaturi vode nego temperaturi plamena te iznosi manje od 233 °C.

Zašto je voda loš toplinski vodič? U električnim vodičima su vodljivi elektroni glavni prijenosnici topline. Oni prenose toplinu kroz tvar i to vidu kinetičke energije. Jednostavno su brži na mjestima gdje je predmet topliji. Prijenos topline u električnim izolatorima odvija se na način da se energija titranja molekula prenosi kroz tvar. Kod tekućina to je i energija vrtnje molekula. Energija titranja najbolje se prenosi mehaničkim valovima u sredstvu. Zato, ako oslabimo vezu između molekula, smanjujemo toplinsku vodljivost. Upravo to se događa u tekućinama i plinovima. Zato su tekući električni izolatori, poput vode, slabi vodiči topline. Toplinska vodljivost vode iznosi oko 0,6 W/mK i daleko je manja od toplinske vodljivosti metala, poput bakra koja iznosi 384 W/mK, ali ipak znatno veća od toplinske vodljivosti zraka od oko 0,026 W/mK. Zgodno je vodu usporediti s plastikom koja nam inače služi kao toplinski izolator, primjerice za izradu ručki lonca, a čija je toplinska vodljivost u rasponu od 0,1 do 0,5 W/mK.

Pokus koji pokazuje da je voda loš vodič topline može se izvesti pomoću epruvete napunjene vodom u kojoj se na njenom dnu fiksira led pomoću čelične vune da ne ispliva. Voda na vrhu epruvete može se zagrijati plamenikom do točke vrenja, dok voda na dnu epruvete ostaje dovoljno hladna da se led ne otopi.
Toplinsku vodljivost najlakše je razumjeti u analogiji s električnom vodljivosti, električnim otporom i Ohnovim zakonom. Pritom u formuli za Ohmov zakon treba napon U na krajevima vodiča zamijeniti razlikom temperatura, T₁ - T₂, na krajevima toplinskog vodiča, električnu struju I, strujom topline Q/t i električni otpor R, toplinskim otporom R_t. Toplinski otpor je razmjeran duljini vodiča L te obrnuto razmjeran površini poprečnog presjeka A i toplinskoj vodljivosti κ, sasvim poput električnog otpora. Kombinacijom ovih formula dobivamo Fourierov zakon toplinske vodljivosti (vidjeti sliku).
Uvrstimo li približne, odnosno procijenjene, vrijednosti navedenih veličina u navedene formule, možemo procijeniti vrijeme potrebno da se jedan decilitar vode zagrije u papirnatoj čaši na plameniku, od sobne temperature do temperature ključanja. Procjena je gruba i jako ovisi o procijenjenoj debljini papirnate čaše, 1 mm, ali svejedno daje dobar uvid u red veličine vremena zagrijavanja vode.