Slinky u slobodnom padu

Slinky je gusto namotana opruga, što znači da se neistegnuti svici međusobno dodiruju. Ako slinky oprugu držimo na jednom kraju tako da se protegne zbog vlastite težine (vidjeti sliku), a zatim je pustimo da slobodno pada, padat će samo gornji kraj opruge, a donji kraj će mirovati sve dok se opruga sasvim ne skupi. Vidjeti video na YouTube isječku. Ovu nevjerojatnu pojavu opisao je Martin Gardner u veljači 2000 u časopisu The Physics Teacher. Rješenje problema zahtijeva poznavanje diferencijalnih jednadžbi, međutim, uz odgovarajuća pojednostavljenja, ovu pojavu može se objasniti srednjoškolskom fizikom, kako je to u istom časopisu objasnio Mark Graham 2001. godine. U daljnjem tekstu slijedimo njegovu ideju, uz određene preinake.
Pojednostavnimo sustav tako da umjesto slinkya promatramo rastegnutu oprugu bez mase s jednakim utezima mase m pričvršćenima za njene krajeve. Kad ne bi bilo gravitacije, nakon ispuštanja opruge, utezi bi se gibali simetrično prema težištu, koje bi mirovalo. Sličnu situaciju možemo postići, tako da krajeve slinkya rastegnemo zajedno s pomagačem na dugačkom stolu katedre, ili na podu učionice i istodobno ga pustimo. Slinky će se skupiti približno na svojoj sredini.

Oprugu u mislima podijelimo na pola u odnosu na težište, koje se nalazi na polovici opruge, tako da na svaku polovicu, odnosno uteg, djeluje elastična povratna sila prema težištu, uz konstantu opruge k. Dok je obješena, pod težinom utega mase m, donja polovica opruge se rastegne za y_ⲟ = mg/k u odnosu na težište, pri čemu se izjednače gravitacijska i elastična sila opruge na uteg. Postavimo ishodište koordinatnog sustava na početni položaj donjeg utega te označimo s y_m položaj utega, a s y_ⲧ položaj težišta. Nakon puštanja, opruga slobodno pada što je ekvivalentno ukidanju gravitacije. Opruga se skuplja pod utjecajem elastične (harmonijske), sile pri čemu se svaka polovica giba prema težištu, tako da za donji uteg vrijedi y_ⲧ - y_my = y_ⲟ ∙cos(ωt), gdje je y_ⲟ početna udaljenost utega do težišta, a ω² = k/m = g/y_ⲟ, kružna frekvencija. Ovo gibanje traje oko četvrtinu perioda, dok se opruga ne skupi.
Za funkciju kosinus i mali x približno vrijedi izraz cos(x) ≈ 1 – ½x² pa za položaj utega možemo pisati y_ⲧ - y_m = y_ⲟ∙(1- ½(ωt)²), što nakon uvrštavanja izraza za ω²= g/y_ⲟ daje y_ⲧ - y_m = y_ⲟ – gt²/2. Ovaj izraz daje približnu vremensku ovisnost položaja donjeg utega odnosu na težište. Budući da težište slobodno pada njegov položaj opisuje izraz y_ⲧ = y_ⲟ – gt²/2. Kombiniranjem ove dvije jednadžbe dobivamo izraz y_m = օ, što znači da se donji uteg uopće ne pomiče iz početnog položaja, baš kao što je opaženo kod slinkya.