Kolika je toplinska unutarnja energija Zemlje?

Godine 1819. Dulong i Petit izvijestili su o dodatnim mjerenjima specifičnog toplinskog kapaciteta krutih tvari, koristeći modificiranu verziju metode hlađenja. Dulong i Petit izračunali su da je za niz elemenata umnožak specifične topline i molekularne mase konstantan. Analiza njihovih rezultata dovela ih je do briljantne ideje o specifičnoj toplini koja se ne ovisi o masi tvari, već o broju atoma.
Iz toga su zaključili da da "Les atomes de tous les corps simples ont exactement la mêmecapacité pour le chaleur" (atomi svih jednostavnih tijela imaju potpuno isti toplinski kapacitet. Ovaj zaključak postao je poznat kao Dulong-Petitov zakon.
Tada još nije bila poznata plinska konstanta R niti Boltzmanova konstanta kB . Danas znamo da Dulong-Petitov zakon može glasiti ovako: Specifični toplinski kapactet na sobnoj i višim temperaturama iznosi približno 3R po atom molu, ili 3Rn po molu, gdje je n broj atoma u molekuli ili 3kB po atomu za svaku krutinu, bez obzira na veličinu i masu atoma. To je fantastičan zaključak, koji nas vodi u samu bit termodinamike i razumijevanje entropije.
Toplinski kapacitet tijela ne ovisi o masi atoma, nego samo o broju atoma u tijelu. Specifična toplina jednoatomskih plinova je upola manja i iznosi 3 2 R bez obzira na masu atoma. To je zbog toga jer je međudjelovanje molekula plina zanemarivo pa nedostaje potencijalni dio unutarnje energije za pohranu energije.
Za željezo vrijedi
C_p = 480 J/(kg K)·0,056 kg/mol = 26,9 J/(mol K) = 3,2R
C_p = 3,2·kB po atomu
pa vidimo da željezo zadovoljava Dulong- Petitov zakon.
Za tekućine nema sličnog pravila, ali je njihova specifična toplina uglavnom veća od specifične topline krutina. Primjerice tekuće željezo ima specifični toplinski kapacitet od oko 900 J/(kg K), dvostruko više od krutine. Kao primjer možemo uzeti i vodu.
C_p = 4186 J/(kg K)·0,018 kg/mol = 75,3 J/(mol K)
Budući da se molekula vode sastoji od n =3 atoma i da je R = 8,314 J/(mol K), specifičnu toplinu vode možemo prikazati na sljedeći način
C_p = 75,3 J/(mol K) =75,6/(3·8,314) = 3,02·R·n
C_p = 3,02·kB po atomu
Vidimo da voda, iako je tekućina, zadovoljava Dulog-Petitov zakon.
Isto tako vidimo da tipičan udžbenički primjer vode kao tvari koja ima devet puta veći specifični toplinski kapacitet od željeza zapravo ne drži vodu.
Zemlja ima složenu strukturu i složen temperaturni profil. Jedan od načina da izračunamo toplinsku unutarnju energiju Zemlje je da izračunamo unutarnju energiju svakog Zemljinog sloja uz poznat specifični toplinski kapacitet te masu i temperaturu sloja. Vidjeti tablicu...
Mi ćemo to napraviti koristeći ideju Dulong-Petitovog zakona uz poznat broj Zemljinih atoma (vidjeti sliku) ) .