UZGON

• Uzgon i težina u vodi
• Arhimedov zakon
• Omjer gustoće tijela i tekućine
• Kartezijev ronilac
• Uzgon u zraku
• Izvod izraza za uzgon
• Uzgon i mjerenje gustoće
• Stabilnost plivanja
• Uzgon i teret broda

Dvije kugle jednakog obujma V₁ i V₂, nalaze se u vodi. Jedna teška, od olova, obješena je na niti da ne potone na dno, a druga, lagana od 'stiropora' usidrena je za dno da ne ispliva na površinu.

Sile uzgona U₁ i U₂ jednake su na obje kugle!

A zašto onda jednu treba držati da ne potone, a drugu da ne izroni?

Zato što će tijelo u tekućini potonuti na dno kada mu je težina veća od uzgona, a isplivat će na površinu ako mu je težina manja od uzgona.

• Uzgon je sila
• Smjer uzgona suprotan je smjeru trenutnog ubrzanja tekućine. Ako posuda s tekućinom miruje uzgon je usmjeren prema povšini
• Iznos uzgona jednak je težini tekućine koja može stati na mjesto uronjenog dijela tijela, a to je tekućina koju je tijelo istisnulo svojim obujmom. U = ρ_tekućineV_tijelag
• Zato uzgon ovisi samo o gustoći tekućine ρ, obujmu tijela V i trenutnom ubrzanju g.
• Uzgon ne ovisi o težini (masi) tijela niti o dubini na kojoj se tijelo nalazi u tekućini
• Uzgon je posljedica razlike hidrostatskog tlaka na gornjoj i na donjoj plohi uronjenog tijela. Ako posuda s uronjenim tijelom slobodno pada tj. nalazi se u bestežinskom stanju, tada nema uzgona jer je hidrostatski tlak nula.

Mjerenjem uzgona pokazuje se da je ta sila jednaka težini tekućine koja može stati na mjesto uronjenog dijela tijela. Vežemo li tijelo, koje inače ne tone u vodi, preko koloture za dinamometar, moći ćemo izravno očitavati razliku između uzgona i težine tijela. Za kuglu od stiropora bit će težina zanemariva, odnosno puno manja od težine istisnute tekućine, pa se iz sile U izmjerene dinamometrom može izračunati približni obujam tijela, ako znamo gustoću vode. V ≈ U/ρg

Arhimedov zakon

Arhimed je otkrio da tijelo uronjeno u tekućinu gubi od svoje težine (postaje lakše) točno onoliko koliko je teška tekućina istisnuta tim tijelom. Pomoću dva dinamometra i preljevne posude to se lako može dokazati sljedećim pokusom: budući da je razina vode do samog ruba preljeva, uranjanje tijela istisnut će tekućinu i ona će se preliti u praznu posudu na drugom dinamometru. Obujam prelivene (istisnute) tekućine bit će jednak obujmu uronjenog tijela, a težina te tekućine odgovarat će točno smanjenju težine uronjenog tijela.

Šuplji i puni valjak

Iznos uzgona možemo odrediti pomoću valjkaste posude (šuplji valjak) u koju tijesno pristaje puni valjak. Posudu zajedno s valjkom u njoj objesimo na dinamometar i očitamo težinu, npr. 9,7 N. Zatim puni valjak izvadimo i objesimo s donje strane šupljeg valjka (vidi sliku). Sad podmetnemo čašu s vodom tako da čitav valjak bude uronjen u vodu. Dinamometar sada pokazuje manje, npr. 6,6 N. Napunimo li valjkastu posudu do vrha vodom, dinamometar će ponovo pokazivati 9,7 N, tj. onoliko kolika je težina punog i šupljeg valjka u zraku.
Uranjanjem valjka očitanje dinamometra se smanjilo onoliko, koliko je teška tekućina koja može stati u valjkastu posudu. Budući da je zapremina valjkaste posude jednaka zapremini punog valjka, dokazali smo Arhimedov zakon: uzgon je jednak težini tekućine koju istiskuje uronjeno tijelo.

Arhimed i kruna

Arhimed je zakonitost uzgona otkrio kao rješenje zadatka koji mu je zadao kralj. Trebao je ustanoviti je li kruna zaista izrađena od čistog zlata ili u njoj ima primjesa neplemenitih kovina.
Mogao je usporediti težinu (masu) krune i zlata, ali problem je bio u usporedbi volumena. Naime gustoća pokazuje koliko mase neke tvari ima u jedinici volumena. Rješenje mu je sinulo kada se iz kade napunjene do samoga ruba prelila istisnuta voda. Ustavši iz kade vidio koliko vode nedostaje. Bilo mu je jasno da može usporediti volumene jednako teških tijela. Trčeći ulicama uzvikivao je "Heureka, Heureka!", što znači "Otkrio sam!" O tome kako je riješio problem s krunom nema pouzdanih podataka ali možemo pretpostaviti da je to bilo na sljedeći način:

Količinu istisnute tekućine povezao je s gubitkom na težini uronjenog tijela:

❶ Krunu je uravnotežio odgovarajućom količinom čistog zlata. Zakljućio je, ako su tijela načinjena od materijala iste gustoće tada se ravnoteža ne bi smjela poremetiti uranjanjem u vodu. ❷ Uronio je obje zdjelice vage u vodu. Tijelo iste mase a manje gustoće imat će veći obujam pa će na nega djelovati veći uzgon i vaga više neće biti u ravnoteži.

Omjer gustoće tijela i tekućine

Ovisno o omjeru gustoća tijela i tekućine moguća su tri slučaja:

① Tijelo čija je gustoća veća od gustoće tekućine ne može, čak ni kad je potpuno uronjeno, stvoriti uzgon dovoljan da uravnoteži njegov težinu. Zato takvo tijelo tone na dno.

② Ako je gustoća tijela jednaka gustoći tekućine, uronjeno tijelo ima uzgon jednakog iznosa kao i njegova težina, ali suprotnog smjera, pa tijelo niti tone, niti izranja, nego "lebdi" u tekućini.

③ Tijelo s gustoćom manjom od gustoće tekućine uronit će do razine pri kojoj je težina istisnute tekućine jednaka težini samog tijela. Ispod razine će biti uronjen x-ti dio obujma tijela (x ∈ ❬0,1]). Tada su uzgon i težina tijela jednaki, i tijelo miruje na povšini. Potisnemo li tijelo dublje naraste uzgon, a ako ga izdignemo uzgon se smanji i nestane ravnoteža sila.

Na stanje tijela u tekućini (tone - pluta - pliva) odnosno na to koliki će biti uronjeni dio x od V, možemo ujecati mijenjanjem gustoće tijela i gustoće tekućine.

Budući da je gustoća omjer mase m i obujma V možemo mijenjati prosječnu masu i obujam tekućine i tijela i to pokazati jednostavnim pokusima.

m_tekućine

Jednostavnim pokusom promijenit ćemo prosječnu masu tekućine. Tijelo malo veće gustoće od čiste vode, npr. gruda parafina ili sirovo jaje, potonut će na dno. Međutim otopimo li u vodi dovoljnu količinu kuhinjske soli promijenit će se prosječna masa vode i tijelo će zbog veće gustoće tekućine, u odnosu na gustoću tijela, "lebdjeti" u tekućini ili isplivati na površinu.

Uzgon je različit u tekućinama različite gustoće. Na tijela istog obujma djelovat će različita sila uzgona u alkoholu, vodi ili slanoj vodi. Kada je gustoća tekućine veća od gustoće tijela, ono će isplivati na površinu, a uronjeni dio će biti različit.

V_tekućine

Obujam tekućine V ne možemo jednostavno mijenjati mehaničkim stiskanjem jer su tekućine gotovo nestišljive. Međutim možemo širiti ili skupljati obujam tekućine (fluida) grijanjem i hlađenjem.

Promjena uzgona uslijed različite temperature

Promjena temperature mijenja gustoću fluida i uzgon u njemu, npr. u vodi:
Viša temperatura smanjuje gustoću vode, stoga u morima i jezerima topla dolazi na površinu dok hladna tone na dno. Obojimo li toplu i hladnu vodu različitim bojama možemo pokazati u kojem će se smjeru one gibati u vodi srednje temperature.

(Pokus: Prof. dr. Ivica Aviani)

Često se kaže da je "topli zrak lakši" ili da je "hladna voda teža". To međutim fizikalno nije dovoljno točno. Uzgon ovisi o obujmu, a ne o masi tijela. Topliji fluid ima veći obujam (širi se) ali mu se masa nije promijenila. Primjerice, ako bi kamen u vodi nekako ugrijali on bi zbog manje gustoće i većeg uzgona manjom silom pritiskao na dno. Stavimo li ga na vagu u zraku, hoće li biti jednako težak?

V_tijela

Međutim možemo mijenjati obujam tijela V i time utjecati na to hoće li tijelo plivati na površini ili će potonuti. Tijelo od plastelina u čistoj će vodi potonut na dno jer svojim obujmom ne istiskuje dovoljno vode čija bi težina kao mjera uzgona bila dovoljna da pliva. Međutim oblikujemo li od iste mase plastelina lađicu povećali smo prosječni obujam tijela i ono istiskuje više tekućine, stoga pliva na površini.

Uzgon ovisi o obujmu tijela V. Zato će oguljena naranča bez kore potonuti na dno iako je lakša, a naranča s korom plivat će na površini. Kora povećava obujam naranče i ona s korom istiskuje dovoljno vode čija je težina kao mjera uzgona dovoljna da tijelo pliva. (Što misliš, na temelju ovog pokusa, hoće li narančina kora plivati ili potonuti kada bi je stvili u vodu?)

m_tijela

A možemo mijenjati i prosječnu masu tijela m, kao kod podmornice, i utjecati na to hoće li tijelo plivati na površini ili će tonuti na dno.

I to možemo pokazati sljedećim jednostavnim pokusom.

Kartezijev ronilac

S vrlo jednostavnim priborom izvest ćemo pokus u kojem se uronjenom tijelu po volji može mijenjati prosječna masa, tako da mu gustoća bude veća, jednaka, ili manja od gustoće vode uz isti obujam tijela.

Za to će nam trebati:
drveni štapić (najbolje da to bude lagano drvce od šibice)
guma za žvakanje - već sažvakana
plastična boca od 2 litre za gazirane napitke (Coca-Cola, Fanta i sl.)
 

	Od drvenog štapića i gume za žvakanje napravit ćemo plovak, gustoće tek nešto veće od gustoće vode.  Kraj štapića treba oblijepiti s toliko gume za žvakanje da takav plovak pliva okomito, izvirujući iznad površine otprilike 1/8 svoje dužine ili manje.
	Provjeru dobro odabrane količine gume za žvakanje izvest ćemo tako da plovak stavimo da pliva u čaši vode. Ako plovak tone treba smanjiti "uteg" skidanjem dijela gume za žvakanje, a ako suvše izranja treba gume dodati.

Tako odredenu količinu gume stavimo sada na suho drvce jer se ovo vjerojatno već natopilo vodom pa neće dobro funkcionirati.

Kad je plovak gotov stavimo ga u plastičnu bocu prethodno napunjenu vodom, i bocu dobro začepimo. Stisnite čvrsto bocu rukom i čekajte. Zatim lagano popuštajte stisak. Što se dogada?

Drvo plovka je šupljikavo i u porama drveta ostali su mjehurići zraka. Kad rukom stisnemo bocu prenosi se hidraulički tlak u sve točke tekućine jednako.
Voda tlači mjehuriće koji se, jer su ispunjeni stišljivim zrakom, skupe na manji obujam, a njihov prostor popuni voda. Tako se poveća prosječna gustoća plovka i on tone na dno. Popustimo li stisak, mjehurići zraka se ponovo rašire istiskujući vodu iz pora drveta, i gustoća plovka se smanji pa on izranja.

Kako bi upravljali letenjem balona, balonisti koriste uzgon u zraku. Oni znaju da se vrući zrak diže, ali koliko mora biti vruć zrak da bi balon mogao letjeti? Donja tablica prikazuje gustoće zraka pri različitim temperaturama:

Da bi balon određene mase mogao letjeti, u njemu mora biti dovoljno vrućeg zraka manje gustoće, da istisne hladniji okolni zrak veće gustoće. Općenito vrijedi, da bi se šuplje tijelo dizalo i lebdjelo, masa tijela i zraka unutar njega mora biti manja od mase okolnog zraka kojeg to tijelo istiskuje:

mg + ρ_{unutarnji zrak} V g    <    ρ_{vanjski zrak} V g

Gdje je V obujam istisnutog zraka, ρ_{unutarnji zrak} je gustoća zraka unutar šupljeg tijela, a ρ_{vanjski zrak} je gustoća zraka kojeg tijelo istiskuje.

Primjer:
Koliko velik mora biti balon za letenje na vrući zrak? Temperatura zraka unutar balona je 80 °C, a temperatura vanjskog zraka 15 °C. Masa balona s košarom, putnicima i spremnicima goriva iznosi 300 kg.

Odgovor:
Iz gornje jednadžbe izlučimo V. Vidimo da obujam V mora biti veći od omjera mase i razlike gustoća.

V  >  m / (ρ_{vanjski zrak} - ρ_{unutarnji zrak})

Uvrstima poznate brojeve i izračunamo V. Gustoće zraka uzmemo iz tablice:

V  >  300 kg /(1,225 kg/m³ - 1,000 kg/m³)

V  >  1333 m³

Dakle obujam balona mora biti najmanje 1333 kubnih metara. To je veliki balon. Ako bi imao oblik pravilne kugle promjer bi mu bio oko 13,6 metara!

Što možemo učiniti da bi balon bolje letjeo?
Mogući odgovori: Olakšati balon, povisiti unutarnju temperaturu balona, letjeti balonom za hladnijeg dana ili povećati obujam balona.

Demonstracija uzgona u zraku

U školama se ponekad izvodi pokus kojim se provjerava konceptualno razumijevanje uzgona u zraku. Pod stakleno zvono ispod kojeg možemo vakumskom sisaljkom ukloniti zrak, stavi se baroskop ili dazimetar. To je osjetljiva vaga na čijim krakovima vise uravnotežena tijela istih masa ali izrazito različitih zapremina, npr. na jednoj strani je zatvorena šuplja kugla, a na drugoj strani kuglica od olova. U pokusu je baroskop najprije uravnotežen u zraku, a zatim se vakumskom sisaljkom izvuče zrak. Od učenika se očekuje da predvide kakav će položaj zauzeti baroskop u zrakopraznom prostoru A, B ili C.

Odgovor

Dogodit će se slučaj C jer se uklanjanjem zraka oduzima više uzgona tijelu veće zapremine. U zraku je ravnoteža uspostavljena zahvaljujući upravo većem doprinosu uzgona na tijelo manje mase. Zato na ono zagonetno pitanje: "Što je teže, kilogram perja ili kilogram željeza? treba odgovoriti: "Ovisi, važe li se u zraku ili u vakuumu".

Tekućina tlači uronjeno tijelo sa svih strana. Međutim, kako hidrostatski tlak raste s dubinom h, tlak na donjoj površini (p₂ = ρ_tekućine gh₂) je veći od tlaka na gornjoj površini (p₁ = ρ_tekućine gh₁). Stoga je rezultantna sila uzgonna U = ρ_tekućine V_tijela g uvijek prema gore (u tekućini koja miruje).

Tijelo uranja u tekućinu sve dok se težina istisnute tekućine ne izjednači s težinom tijela. Zato će ono uroniti dublje u tekućinu manje gustoće. To načelo primijenjeno je za mjerni plovak koji zovemo areometar, kojim se mjeri gustoća tekućina. Sastoji se od staklene cijevi s utegom (olovna sačma, živa, i slično) proširene pri dnu, a pri vrhu se sužava u relativno tanki vrat s mjernom ljestvicom. Na razini tekućine s ljestvice se može odmah očitati njena gustoća.

Konceptualni zadatak:
U čaši s vodom, obješenoj na oprugu, pliva drveno tijelo. Povučemo li čašu prema dolje i pustimo, ona će titrati gore-dolje. U takvom ubrzanom sustavu javljaju se inercijalna ubrzanja suprotnog smjera od ubrzanja sustava. Hoće li se pri tome mijenjati dubina do koje drveno tijelo uranja u vodu? 

Ostat će uronjeno do iste razine jer inercijalno ubrzanje jednako mijenja ukupno ubrzanje težine tijela i sile uzgona.   mg = U   ⇒   m · (g + a_inerc ) = ρ_tekućine · V_tijela · (g + a_inerc )

Uzgon koji djeluje na brod ima hvatište u težištu U oblika tekućine koja može stati na mjesto uronjenog dijela broda. Metacentar M je sjecište simetrale broda i pravca uzgona. Kod naginjanja broda hvatište uzgona se pomiče U¹ jer se mijenja oblik uronjenog dijela broda. Ako pravac uzgona siječe simetralu broda iznad težišta T brod se nakon naginjanja uspravlja, međutim ako je težište broda visoko zbog suviše tereta, metacentar je ispod težišta i brod se prevrće. Postoje brojni slučajevi prevrtanja trajekta s visoko raspoređenim teretom.

Brodovi se tovare tako da uranjaju do sigurne razine. Budući da uzgon ovisi o gustoći vode u kojoj brod plovi, a na gustoću utječe i temperatura vode, na trupu su nacrtane različite oznake razina za plovidbu u slatkim i morskim vodama ovisno o temperaturi vode (tj. o godišnjem dobu). Tako se razlikuju razine za ljeto i zimu (summer, winter), slatku vodu (fresh water) i morsku vodu (sea water), topla tropska mora (tropical fresh) itd. Vidi se da brod najdublje uranja u slatkoj i toploj tropskoj vodi, a najmanje u hladnoj morskoj vodi sjevernog Atlantika. Mogli bismo reći da se brod s ovim oznakama ponaša kao svojevrsni veliki areometar.

Gustoća vode osim na gaz brodova utječe i na ljude koji plivaju ili se kupaju. U slatkoj vodi tijelo kupača uronit će dublje nego na moru koje zbog soli ima veću gustoću. Posebno je to izraženo na Mrtvom moru, slanom jezeru između Izraela i Jordana. Tamo je gustoća vode 1,24 kg/dm³, pa se oko 20% tijela kupača izdiže iznad površine.